Министерство Энергетики

Расчет узловых цен на тепловую энергию на основе метода неопределенных множителей Лагранжа

Валерий СТЕННИКОВ
Директор ИСЭМ СО РАН,
чл.-корр. РАН, профессор
e-mail: sva@isem.irk.ru

Олег ХАМИСОВ
Заведующий отделом прикладной математики ИСЭМ СО РАН, д. ф.-м. н.
e-mail: globopt@mail.ru

Андрей ПЕНЬКОВСКИЙ
Старший научный сотрудник
лаборатории теплоснабжающих систем ИСЭМ СО РАН, к. т. н.
e-mail: penkoffsky@isem.irk.ru

Анжелика КРАВЕЦ
Аспирант, инженер-исследователь лаборатории теплоснабжающих систем ИСЭМ СО РАН
e-mail: kravets@isem.irk.ru

Введение

Структурные преобразования в теплоснабжении России, связанные с процессами либерализации в энергетике в 90‑х г. ХХ в., привели к новым экономическим отношениям между производителями и потребителями тепловой энергии и созданию рынка тепловой энергии. При этом фактически отсутствовала нормативно-­правовая база, которая бы регулировала отношения, возникающие в процессе производства, передачи и потребления тепловой энергии.
Лишь только спустя 20 лет после распада СССР был принят основной Федеральный закон «О теплоснабжении»  (за исключением отдельных нормативных актов). Его принятие было связано с коренными изменениями в политической, социально-­экономической жизни страны, непосредственно затрагивающими решение такой важнейшей задачи как обеспечение надежного и бесперебойного снабжения тепловой энергией потребителей на территории России и созданию единой модели организации рынка тепловой энергии.
Новая модель рынка тепловой энергии предусматривает объединение всех функций теплоснабжающей системы (ТСС) по выработке, транспорту и сбыту тепловой энергии в рамах Единой теплоснабжающей организации (ЕТО). Контроль организационной структуры по теплогенерации над теплосетевыми компаниями оправдан с точки зрения поддержания системной надежности и снижения технических и экономических рисков, а также для устойчивого развития ТСС в целом. В такой структуре вся деятельность по организации теплоснабжения потребителей передаётся Единой теплоснабжающей организации, в управлении которой должны находиться ИТ, магистральные, распределительные и квартальные тепловые сети. Слияние основных активов и процессов управления по теплоснабжению формирует структуру Единой теплоснабжающей организации как единственного продавца на рынке тепловой энергии в виде естественного монополиста.
Согласно действующему законодательству, рынки тепловой энергии в России являются регулируемыми естественными монополиями, в которых цена на тепловую энергию рассчитывается исходя из фактически понесенных суммарных затрат на производство и транспортировку тепловой энергии. При этом потребители платят за тепловую энергию по среднему тарифу. Однако такой подход не учитывает тот факт, что все потребители тепловой энергии находятся в разных условиях и реальная стоимость поставляемой тепловой энергии не одинакова. Такой подход не отражает формирующиеся конкурентные отношения между производителями (поставщиками) и потребителями тепловой энергии.
Для повышения эффективности функционирования и развития ТСС в условиях рынка необходимо осуществить переход к поузловому (дифференцированному) расчету цен на тепловую энергию, что позволит учесть реальные затраты на покрытие тепловой нагрузки каждого конкретного потребителя. Такой подход (узловой расчет цен) достаточно хорошо зарекомендовал себя в электроэнергетике [1–4]. В основе расчета узловых цен лежит оптимизация установившихся режимов энергетических систем по критерию минимума суммарных затрат на выработку электроэнергии. Цены на энергию определяются для каждого узла электроэнергетической системы как двой­ственные оценки или множители Лагранжа к уравнениям баланса активной мощности в узлах.
В системах централизованного теплоснабжения расчет узловых цен [5–7] базируется на расчете теплогидравлических режимов в теплоснабжающей системе c учетом различной стоимости выработки тепла источниками, реального потокораспределения, размещения потребителей на местности и их объединение в тепловой сети (удаленности от источников), ее структуры и параметров. К недостатку данного подхода следует отнести отсутствие учета рыночной (маржинальной) специфики ценообразования на тепловую энергию.
В настоящей работе предлагается использовать подход для расчета узловых цен на тепловую энергию на основе оптимизации режимов ТСС c дальнейшим ее сведением к условиям оптимальности на основе функции Лагранжа. При этом полученные в процессе расчета неопределенные множители Лагранжа будут интерпретироваться как узловые (маржинальные) цены на тепловую энергию.

Расчет узловых цен на тепловую энергию в ТСС

При математическом моделировании ТСС, функционирование которой организовано в формате Единой теплоснабжающей организации, объединяющей в своем составе как источники тепла, так и тепловые сети, будем исходить из того, что она моделируется гидравлической цепью (ГЦ), представляющей собой ориентированный граф, состоящий из m узлов и n ветвей (дуг) [8]. Данная структура гидравлической цепи описывается полной матрицей соединений (инцидентности) , в которой число строк совпадает с числом узлов, а число столбцов с числом ветвей.
Элементы матрицы определяются следующими условиями:

(1)
Гидравлическая цепь представляет собой совокупность упорядоченных множеств: узлов – состоящего из подмножеств – источников, – потребителей и – простых узлов разветвления на схеме, а также ветвей – , отображающих заданные попарные связи между узлами.
Расчет узловых цен на тепловую энергию основан на использовании условий оптимальности для задачи оптимизации режимов ТСС и, прежде всего, её двой­ственных переменных (неопределенных множителей Лагранжа) [9, 10]. Известно [8], что применение условий оптимальности на основе метода неопределенных множителей Лагранжа для решения задачи поиска оптимальных режимов в ТСС по энергетическому критерию (минимум суммарных потерь на преодоление трения в ТСС с соблюдением материального баланса в узлах и замыкающего соотношения) позволяет определить значения переменных целевой функции, а также оптимальные значения неопределенных множителей Лагранжа, которые интерпретируются как узловые давления в ТСС. Чтобы перейти к определению узловых цен на тепловую энергию, достаточно сформулировать задачу поиска оптимальных режимов в ТСС по экономическому критерию так, как это формулируется, например в [1–4], а именно поиск минимальных суммарных затрат на производство и транспортировку тепловой энергии в ТСС:

(2)

где – суммарные затраты на производство и транспортировку тепловой энергии потребителям, руб.; – затраты на производство тепловой энергии j-тым источником тепловой энергии, руб.; – затраты на транспортировку тепловой энергии, руб.; – матрица инциденций (m‑1) линейно независимых узлов и n ветвей; – вектор расхода тепловой энергии на ­i-той ветви, т/ч; – вектор расхода тепловой энергии в ­j-том узле, т/ч; – вектор потерь давления на ­i-той ветви, м. вод. ст.; – диагональная матрица гидравлических сопротивлений, м·ч2/т2; – диагональная матрица модулей расходов тепловой энергии на ветвях, т/ч.
В общем случае затраты на производство тепловой энергии источниками моделируются квадратичной зависимостью относительно их объемов производства тепловой энергии [11], руб.:

где , (руб./(Гкал/ч)2), , (руб./(Гкал/ч), , (руб.) – коэффициенты аппроксимации затратной характеристики ИТ.
Ввиду положительного характера коэффициентов , , и , функция издержек представляет собой сильно выпуклую, монотонно возрастающую функцию, принимающую положительные значения при .
Затраты в тепловые сети определяются по следующей зависимости [12]:

где – условно-­постоянные затраты, руб.; – доля условно-­постоянных эксплуатационных (на содержание) издержек по тепловой сети; (руб./м), , (безразмерная величина) коэффициенты, которые получаются в результате аппроксимации реальных (табличных) значений стоимости трубопроводов различных диаметров; – коэффициент, зависящий от шероховатости трубопровода (безразмерная величина); – длина i-го участка сети, м; – число часов работы насосной установки, ч/год; – коэффициент условно переменных затрат в ТС, руб.; – цена электроэнергии, руб./кВт·ч; – коэффициент полезного действия насосной установки,%.
Задача (2)-(4) представляет собой описание установившегося режима в ТСС с учетом оптимального распределения теплоносителя в тепловых сетях и оптимального объема производства тепловой энергии источниками тепла. Поскольку выражение (4) представляет собой монотонно возрастающую функцию, обладающую свой­ствами нечетности и гладкости [9], то для уменьшения размерности задачи (2)-(4) можно выполнить замену переменных, подставив выражение (4) в функцию затрат в тепловых сетях. Таким образом, задача оптимизации режимов в ТСС запишется следующим образом:

Метод решения задачи оптимизации режимов в ТСС

Сформулированная задача (7)-(8) оптимизации режимов ТСС в силу выпуклости целевой функции относительно переменных по объему производства тепловой энергии источниками и расходов теплоносителя по участкам тепловой сети имеет единственное оптимальное решение. Ограничения в исследуемой задаче линейны, следовательно регулярны [10], поэтому для записи необходимых условий оптимальности воспользуемся функцией Лагранжа в следующем виде:

где – вектор неопределенных множителей Лагранжа.
Необходимые условия оптимальности в данном случае являются достаточными и представляют собой систему нелинейных уравнений:

Решение системы уравнений (10) позволяет определить переменные функции суммарных затрат в ТСС, при которых её значение является минимальным. В ходе решения системы уравнений (10) определяются и двой­ственные переменные к ограничениям. Вектор неопределенных множителей Лагранжа к ограничениям (8) по материальному балансу в узлах ТСС с экономической точки зрения интерпретируется как узловые цены на тепловую энергию в ТСС, включая цены производства тепловой энергии источниками тепла и покупные цены всех потребителей тепловой энергии.
По рассчитанным узловым ценам на тепловую энергию для потребителей и полученному оптимальному значению суммарных затрат в ТСС можно определить объем прибыли, которую получит Единая теплоснабжающая организация при снабжении потребителей тепловой энергии, руб.:

Для выявления наиболее эффективных и неэффективных зон в ТСС, с точки зрения величины узловых цен на тепловую энергию для потребителей, предлагается ввести единую цену на тепловую энергию для всех потребителей в виде средневзвешенной, т. е. которая будет учитывать, как объем потребления тепловой энергии отдельно взятого потребителя, так и цену за её потребление руб./Гкал:

Алгоритм расчета узловых цен производства и потребления тепловой энергии и получения технико-­экономических показателей ТСС, включая затраты на производство и транспортировку тепловой энергии, а также прибыль единой теплоснабжающей организации от реализации тепловой энергии потребителям, в задаче оптимизации режимов ТСС на основе метода множителей Лагранжа состоит в следующем:
Шаг 1. Формируется расчетная схема ТСС с обозначением мест расположения источников тепла и потребителей тепловой энергии.
Шаг 2. Формируются исходные данные по ТСС, включая тепловые нагрузки потребителей, функции затрат источников тепла, физико-­технические параметры тепловых сетей (длины, диаметры, сопротивления участков тепловой сети, КПД насосных установок и др.).
Шаг 3. Формируется исходная задача оптимизации режимов в ТСС по критерию поиска минимума суммарных затрат в ТСС с учетом ограничений по материальным балансам в узлах тепловой сети.
Шаг 4. Решается система уравнений (10) относительно .
Шаг 5. По полученным значениям и определяются суммарные затраты в ТСС.
Шаг 6. С помощью рассчитанных узловых цен на тепловую энергию для потребителей и суммарных затрат в ТСС рассчитывается величина получаемой прибыли ЕТО от реализации тепловой энергии потребителям по формуле (11).
Шаг 7. Рассчитывается средневзвешенный тариф по формуле (12) с целью определения менее и более затратных узлов-­потребителей.

Практические исследования по расчету узловых цен на тепловую энергию

Для практической апробации разработанного научно-­методического обеспечения по расчету узловых цен на тепловую энергию, рассмотрим укрупненный пример теплоснабжающей системы, состоящей из 11 участков и 8 узлов, из которых 6 узлов представляют собой потребителей тепловой энергии и 2 узла – источника тепла. На рис. 1 представлена расчетная схема системы теплоснабжения.

Рис. 1. Расчетная схема теплоснабжающей системы

В качестве исходных данных при проведении практических исследовании ТСС приняты следующие показатели:
Сопротивления участков тепловой сети представлены в таблице 1.

Длины участков трубопроводов представлены в таблице 2.

Таблица 2. Длины участков трубопроводов

Удельная стоимость электроэнергии на перекачку теплоносителя в тепловой сети: 5 руб./кВт·ч.
Коэффициент полезного действия насосно-­моторной установки: .
Доля условно-­постоянных эксплуатационных издержек по тепловой сети
Функции затрат на производство тепловой энергии источниками тепла представлены в таблице 3.
Тепловые нагрузки потребителей, представлены в таблице 4.


Коэффициенты в функции капитальных вложений в сеть: a =10835 руб./м, b=103827 руб./м1,45, u=1,45.
Коэффициент, зависящий от шероховатости трубопровода:

Моделирование теплоснабжающей системы, изображенной на рис. 1, осуществлялось в вычислительной среде General Algebraic Modeling System. Основные расчетные технико-­экономические показатели Единой теплоснабжающей организации представлены в таблице 5, а узловые цены для потребителей в таблице 6.
Из таблицы 5 видно, что при заданной суммарной нагрузке 1016 Гкал/ч со стороны потребителей ее долевое покрытие источниками составило: ИТ‑1–59,6 % и ИТ‑2–40,4 %. При этом цены производства тепловой энергии составят 501,7 руб./ Гкал и 432,1 руб./Гкал для ИТ‑1 и ИТ‑2 соответственно. Расходы на производство и транспортировку тепловой энергии потребителям теплоснабжающей организации составили 605 127 руб., а себестоимость тепловой энергии 595,6 руб./Гкал.
Полученные в результате расчета узловые цены на тепловую энергию для потребителей представлены в таблице 6 и изображены на рис. 2.
Из рис. 2 видно, что узловые цены на тепловую энергию растут по направлению установившегося оптимального потокораспределения в тепловой сети, и достигают максимальных значений в узлах 3–707 руб./Гкал и 7–711,5 руб./Гкал, которые максимально удалены от источников тепла ИТ‑1 и ИТ‑2. Если бы расчет цен на тепловую энергию рассчитывался как средневзвешенная цена, то для всех потребителей она бы составила 686,7 руб./Гкал. Относительно этой цены, узловые цены на тепловую энергию в узлах 3, 6, 7 выше на 20,8 руб./Гкал, 0,9 руб./Гкал и 25,3 руб./Гкал соответственно. Таким образом, при переходе от дифференцированных цен на тепловую энергию к средневзвешенной цене по системе, то потребители, расположенные в узлах 2, 8 и 4, будут оплачивать фактические расходы по транспортировке тепловой энергии потребителям, расположенным в узлах 3, 6, 7. Как отмечалось в [8], переход на дифференцированные цены может повлиять на множество социальных, организационных, технологических решений на стоимость жилья и будет активно воздействовать на развитие инфраструктуры населенных пунктов вблизи дешевых источников тепловой энергии. Предложенный методический подход позволяет осуществлять технический, финансовый анализ функционирования ТСС при планировании режимов, а также при оперативной оценке текущего режима в ТСС.

Выводы

В работе предложена методика расчета узловых цен на тепловую энергию в теплоснабжающих системах. Она базируется на решении задачи оптимизации установившегося режима в теплоснабжающей системе по критерию минимума суммарных затрат на производство и транспортировку тепловой энергии. Для поиска оптимального решения данной задачи предложен подход, основанный на применении метода неопределенных множителей Лагранжа. Показано, что неопределенные множители Лагранжа при балансовых ограничениях (первый закон Кирхгофа) интерпретируются как узловые цены. Данный подход позволяет определять оптимальное потокораспределение в тепловой сети, оптимальное распределение нагрузок между источниками тепла и соответствующие им затраты, узловые цены производства и потребления тепловой энергии. С помощью предложенной методики выполнены практические исследования на реальной теплоснабжающей системе. Полученные при расчетах узловые цены являются маржинальными, т. е. они основаны на расчете предельных затрат на производство и транспортировку дополнительной единицы тепловой энергии. Предложенный подход реализован в виде вычислительного алгоритма и позволяет рассчитывать теплоснабжающие системы любого масштаба, мощности и учитывать различные типы источников тепловой энергии.

Исследования выполнены в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН в рамках проектов государственного задания № FWEU-2021-0002 (регистрационный номер АААА-А21-121012090012-1) и FWEU-2021-0006 (регистрационный номер АААА-А21-121012090034-3) фундаментальных исследований СО РАН.